Noch was zur Collatzvermutung

[eulenspiegel]

Mehr zu Collatz im alten Forum, hier nur eine Ergänzung:

Es verdichten sich die Hinweise und Vermutungen, dass das Problem der Collatzreihen zu den unlösbaren Problemen der Mathematik gehört. Von denen gibt es mehrere wie z. B. die Goldbachvermutung oder den Turing-Test. Gödels Unvollständigkeitssatz 'beweist' die Unbeweisbarkeit gewisser Aussagen innerhalb eines mathematisch-logischen Systems. Alles ziemlich kompliziert und hier nur angedeutet, weil ich es selber nicht wirklich verstehe. Aber verlassen wir uns mal auf die Logikheroen und Geistesriesen und deren Jünger, die jede Schwäche der Meister sofort offenlegen würden, um sich selbst einen Namen zu machen. Schließlich ist derjenige, der beweist, dass ein Beweis fehlerhaft ist, der Matchwinner.

Es könnte also sein, dass die Collatzvermutung wahr ist (alle Reihen enden bei 1) und doch unbeweisbar. Was sehr wahrscheinlich ist. Aber auch das ist relativ und nicht eindeutig.

Wir leben halt doch in einer mehrdeutigen, verdammt komplizierten Welt mit einem sehr limitierten Denkeisen im Kopf.

[aerolith]

Bezugstext im alten Forum

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Ich werde mich mal erkundigen und bald einen (sachkundigen) Beitrag einstellen. Für mich ist es immer wieder erstaunlich, daß mich mathematische Fragen interessieren. Bricht immer mal wieder auf. ist aber keine Wunde.

[eulenspiegel]

Ein gewisser John Conway - brillanter, vieldekorierter britischer Mathematiker - formulierte die Collatzvermutung allgemein:

statt (3n+1)/2 heisst sie dann (x.n+1/y, wobei x und y natürliche Zahlen sind.

Conway konnte beweisen - ich kann das nicht wirklich nachvollziehen, vertraue aber auf die vielen guten Mathematiker für die es nichts Schöneres gibt, einem anderen Mathematiker einen Fehler in einer Beweisführung nachzuweisen -, also Conway konnte beweisen, dass die allgemeine Form der Collatzvermutung unentscheidbar ist, weder bewiesen noch widerlegt werden könne. Da die ursprüngliche Collatzvermutung nur ein Spezialfall der von Conway aufgestellten ist, müsste sie also ebenfalls unentscheidbar sein.

Was heisst: Sie kann wahr sein, aber nicht beweisbar. Sie kann ebenso falsch sein, dann wird es vielleicht einmal einen Computerbeweis geben. Dann wenn die Collatzreihen, die per Computer nach und nach berechnet werden, auf die Zahl stoßen, die die Collatzvermutung widerlegt, also nicht bei 1 endet, sondern unendlich divergiert oder in einem Zyklus gefangen ist, der sich stets wiederholt.

[eulenspiegel]

Und wieder mal Collatz. Mir kam da in der Hitze der Hundstage so eine blöde Idee. Es gibt ja 2 Teile der Vermutung:

1. Jede Collatzreihe trifft irgendwann auf eine 2-er-Potenz und fällt dann im freien Fall auf 1. Oder eben nicht, dann steigt die Reihe unendlich.

2. Es gibt weitere Zyklen ähnlich dem einzig bisher bekannten (1,4,2,1), dann kreist die Reihe ewig in diesem Zirkel und fällt nie auf 1.

Mir geht es jetzt um diesen 2. Teil. Die Frage: Kann es überhaupt einen weiteren Zyklus geben als 1-4-2-1? Ich denke nein. Was zu beweisen wäre. Am Ende läuft alles auf die Frage hinaus, ob es für Ausgangszahlen n>1 (also 3,5,7,...) in der Reihe(n) Zahlen gibt, die ein Vielfaches von n sind, das n*2expx entspricht (für x=2,3,4,5.....) entspricht. Mit anderen Worten, können in einer beliebigen Reihe mit der Ausgangszahl n, Folgezahlen auftreten, die um das 2-,4-,8-,16-,...,2hochx-fache größer sind? Nur dann nämlich können sie auf die Ausgangszahl zurück fallen (weil solange durch 2 dividiert wird, bis man auf eine ungerade Zahl stößt, was in diesem Fall n wäre).

Also eine ganz triviale Frage, die ich aber mit meinen mathematischen Mitteln wohl nicht lösen werde. Ausserdem werden viel bessere Mathematiker, die sich mit Collatz beschäftigt haben, wohl auch schon auf diese Frage gekommen sein. Und sie offensichtlich bis jetzt nicht beantworten haben können.

Trotzdem bin ich der Überzeugung, dass nur mit n=1 ein solcher Zyklus möglich ist. Weil 3*1+1=4 auf solch ein 2hochn-Vielfaches von n, also in diesem Fall 1, führt. Bei Zahlen größer n, also zB. 3, landet man mit (3n+1)/2 immer zwischen n und 2n, erreicht aber 2n nie, weil 3/2*n + 1/2 im besten Fall auf das (3/2)= 1,5-fache von n führen kann (je größer n, desto näher liegt die Folgezahl bei 1,5*n. Nur bei 1 erreicht die Folgezahl das 2-fache, weil 3/2*1+1/2 = 2 ergibt. Wächst n über 1 hinaus, kann niemals mehr verdoppelt werden.

Für die einfache Anwendung der 3n+1-Regel wäre es also bewiesen, dass keine weitere Zyklen mehr entstehen können. Wie sieht es aber mit einer Kaskade von 3n+1-Operationen aus? Kann da irgendwann ein 2hochx-faches von n entstehen? Ich glaub nicht, kann es aber nicht beweisen. Vielleicht sollte ich mal einen Collaltzmathematicus kontaktieren. Der lächelt dann nur müde über mein Strampeln.

[eulenspiegel]

Bedeutende Mathematiker wie z. B. Paul Erdös halten einen Beweis/Widerlegung der Collatzvermutung für unlösbar, wenigstens mit der heutigen Mathematik. Es gibt andere mathematische Probleme, die bislang einer Lösung teils über Jahrtausende trotzten wie etwa die Frage, ob es ungerade perfekte Zahlen gäbe. (Eine perfekte Zahl ist eine natürliche Zahl, deren Primfaktoren incl. der Zahl 1 in Summe die Zahl selbst ergeben, die erste perfekte Zahl ist 6, deren Primfaktoren 1,2,3 in Summe 6, also die Zahl selbst ergeben).

Der große David Hilbert glaubte an die völlige Widerspruchsfreiheit der Mathematik und deren Beweisbarkeit. Andere wie der große Cantor widersprachen ihm. Dann kam Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz. Der wird gerne als Abrißbirne benutzt, der die gesamte Logik und Mathematik in sich zusammen fallen ließe. Das ist falsch. Er besagt lediglich, dass gewisse Sätze innerhalb eines logischen Systems zu Widersprüchen führen können, die nicht mit den Mitteln innerhalb des Systems lösbar sind. Bekannt ist das Paradox des Epimenides von einem Kreter, der behauptet, alle Kreter seien Lügner. Diese Aussage allein ist noch nicht unbedingt widersprüchlich, weil ein Lügner ja nicht immer lügen muß, er also in diesem Fall die Wahrheit sagen könnte. Russell hat das Paradox so verschärft, dass es unweigerlich widersprüchlich ist: 'Ich lüge jetzt gerade.' Das ist tatsächlich innerhalb unserer Sprache und Logik nicht auflösbar.

Gibt es also Sätze, Aussagen, die weder wahr noch falsch, weder beweisbar noch widerlegbar sind? Ja, davon bin ich überzeugt. Der Widerspruch liegt doch in jedem System, allein dadurch,dass es ein System ist, also etwas Abgeschlossenes. Es muß also in Aussagen über Dinge, die das System überschreiten, notwendig zu Widersprüchen oder mindestens Unvollständigkeiten kommen. Heisst, in jedem logischen System gibt es Aussagen, die nicht beweisbar oder widerlegbar sind.

David Hilbert war also etwas zu optimistisch. Auf seinem Grabstein steht 'Wir müssen wissen und wir werden wissen'. Dem stimme ich zu, denn er sagt ja nicht 'wir werden Alles wissen'.

[aerolith]

Nachdem ich mir diesen Artikel durchgelesen habe, kann ich Dir hier eine philosophische Antwort geben: Die Welt basiert auf zwei Prinzipien, dem Wachstum und der Zerstörung. Am Ende jedes Prozesses steht die Rückkehr in ihren Ursprung. Alles muß zu seinem Ursprung zurück und zu dem werden, was es einst gewesen ist. Nun könnte man glauben, daß sei die Null. Aber es ist nicht die Null, sondern die Eins, denn die Eins ist es , die die Veränderung und den Ursprung gleichermaßen ausdrückt. Die Null ist nur das goldene Kalb, um das herum die Mathematiker ihre Gleichungen bewegen. Aber womit bewegen sie sie, natürlich mit der Veränderung und der Umwandlung des Gleichen.

[WirbelFCM]

Ich würde den „Ursprung“ weder für eins noch null halten. Der Ursprung allen Lebens ist die Natur. Null wäre dann, menschlich/evolutionär gedacht, KEINE Natur mehr (bspw. ein totgedüngter Acker oder verödetes Land), Eins wäre „urbanisierte“ Natur, also eine Betonfläche, Rasenwüste oder sonstige Monokultur. Und schon gehen alle Mathematiker und fanatischen Anhänger der „dualen Welt“ auf die Straßen 😁

[eulenspiegel]

Nun, mit der philosophischen Antwort kann ich leben, nur ist deine Zuordnung von Null und Eins halt willkürlich - wie fast alles in der Philosophie. Was die Mathematik der Philosophie voraus hat, sie kommt mit ganz wenigen Annahmen (Axiomen) aus, während jede Philosophie ihre eigenen Annahmen trifft. Auf den Axiomen der Mathematik ruht das ganze Gebäude - bislang widerspruchsfrei. Die Logik wäre das Bindeglied zwischen Mathematik und Vernunft. Beide nutzen sie, die Logik. Nur ist die Logik nicht widerspruchsfrei. Muß sie auch nicht sein meiner bescheidenen Meinung nach. Ein beliebter Grundsatz der Logik lautet, eine Aussage könne nicht wahr und falsch zugleich sein (tertium non datur). Warum nicht? Ich kann sagen A = A und zugleich A /= A, also A ist gleich A und A ist nicht gleich A. Heisst doch nur, dass A sich selbst gleich ist (Identität) und auch nicht (z. B. meine ganz persönliche Lebenserfahrung; ich fühle mich ident mit mir und auch nicht). Was für mich den Schluß zulässt, dass ich A nicht vollständig beschreiben kann. Und das soll vorkommen.

Der Artikel über die Collatzvermutung schließt hier an. Wir wissen nicht genug darüber. Sie mag stimmen, oder nicht. Oder unbeweisbar/unwiderlegbar sein. Wobei es oft so ist (siehe Gödel), dass sich ein mathematischen Problem nicht innerhalb des Teilgebietes lösen lässt (Algebra, Numerik, Zahlentheorie etc.), dass die Lösung aber in einem anderen Feld (z. B. Geometrie) möglich oder sogar einfach und plausibel ist. Weil eben manche Aussagen sich innerhalb ihrer eigenen Grenzen nicht verifizieren lassen, von aussen betrachtet aber schon.